Många har sett de mest grundläggande linjära ekvationssystem, y=mx + b. Från denna har en hel gren av matematiken som bildats genom århundradena. Linjära ekvationssystem, eller lösningar baserade på linjära ekvationssystem, finns runt omkring oss varje dag-från de bilar vi kör till datorer vi använder, till de byggnader vi innehar. Utan linjära ekvationssystem, skulle vi leda mycket enklare liv
Definition
En linjär ekvation är en där alla variabler är separata och ingen av dem har en exponent än ett. Till exempel f (x, y, z) är=2x 3 xy + z ^ 2 inte en linjär ekvation eftersom "x" och "y" multipliceras ihop och "Z" har en exponent för två. Å andra sidan, f (x, y, z)=2x + 4y + 3z är en lineär ekvation. För två eller tre dimensioner, utgör denna ekvation en rät linje i rymden. För fler dimensioner, utgör det fortfarande en rak linje, utan bara i teoretisk mening. Du kan inte ens visualisera en "rak linje" i en 10-dimensionell rymd, men det är vad en 10-variabel linjär ekvation representerar.
Systems
Lösa multivariabla linjära ekvationssystem kräver lite mer kunskap än bara en enda ekvation. Faktum är att för ett system med "n" variabler, behöver du "n" ekvationer med dessa variabler i syfte att finna en lösning. Den vanligaste metoden att visa ett system av linjära ekvationer är med matriser. Koefficienten matris är en "nxn" matris som innehåller koefficienterna för alla variabler i system av ekvationer, medan lösningen vektorn är oftast en kolumn vektor, eller "nx 1" matris, som innehåller alla konstanter. För ekvationen 3x-2y + 4z=12, koefficienterna 3, -2, och 4 skulle vara en del av den koefficient matrisen och 12 skulle vara en del av lösningen vektor
avskaffande
Den mest grundläggande metoden för. lösa ett system av linjära ekvationer är någon form av eliminering. Den mest kända eliminering metod är Gausselimination. För att göra Gausselimination, måste du utöka den koefficient matrisen med lösningen vektor. Detta är vanligtvis betecknas med tecknet "|". Till exempel kan ett utökat granarna rad med en 3 x 3-systemet ser ut [2 3 5 | -2]. Gausselimination ger dig en lösning för den sista variabeln i systemet. Du måste då ersätta lösningen tillbaka genom de andra raderna i matrisen för att hitta lösningar för alla andra variabler.
Ortogonalitet
När två linjer möts i två eller tredimensionellt rum på en 90-graders vinkel, de är vinkelrätt. Dessa två linjer har speciella egenskaper relaterade till varandra som matematiker kan använda i andra lösningar. På samma sätt, även om du inte kan se det framför, kan två linjer möts i en 10-dimensionell rymd på en 90-graders vinkel. I stället för "vinkelrätt," de är "ortogonal". Ta reda på om två linjer är ortogonala, måste du beräkna den inre produkten av vektorerna som bildas av ekvationer. Om den inre produkten, eller "skalärprodukt," är lika med noll, då linjerna är rätvinkliga.
Självständighet
Ett system kan bara ha en enda lösning om alla ekvationer är linjärt oberoende. Linjärt oberoende kräver att ingen ekvation vara en linjär kombination av någon annan ekvation eller ekvationer i systemet. Till exempel, 6x-4y + 8z=10 och 3x-2y + 4z=5 är linjärt beroende, eftersom den första ekvationen är två gånger den andra ekvationen. Om du utför Gausselimination på ett system av linjära ekvationssystem, representerar en rad med en nolla pivot när du är klar en beroende ekvation. Alla rader med numeriska pivoterna är linjärt oberoende av varandra. Om du har en "nxn" system, och någon av ekvationerna är linjärt beroende, kan du inte hitta en lösning för systemet.
